Hondarren teorema

Matematikan bada Cauchy-ren teorema bat euskaraz hondarren teorema gisa ezagutzen dena. Baina izan zitekeen hondakinen teorema ere. Izan ere, ingelesez residue theorem esaten zaio, eta gazteleraz teorema de los residuos. Imajinatzen dut susmatuko zenutela zerk ekarri didan teorema hau gogora...

Teorema analisi konplexuko emaitza garrantzitsuenetako bat da. Analisi konplexua zenbaki konplexutan definitutako funtzioak nolakoak diren aztertzeaz arduratzen da. Izan ere, zenbaki errealetarako funtzioak defini ditzakegun era berean, izan 2 bider x, x karratu gehi zazpi edo 4 ber x, zenbaki konplexuetarako gauza bera egin dezakegu. Kasu honetan, x ez da zenbaki erreala, konplexua baizik. Eta bereizteko, x-ren ordez z idatzi ohi da zenbaki konplexuentzat. Baina berdin defini daitezke 2 bider z, z karratu...

Kontua da funtzio konplexu baten puntu singularrek asko esan dezaketela funtzioaz. Puntu singular edo singularitate esaten zaio funtzioa deribagarria ez den puntuari. Denok dakigu zerbait ezin dela 0z zatitu. Bada, 1/z funtzioak singularitate bat du z=0 puntuan, adibidez. Singularitateak hiru motatakoak izan daitezke: gaindigarriak, poloak (1/z-ren gisakoak) edo esentzialak. Gaindigarriak, hitzak dioen bezala, erraz konpon daitezkeen singularitateak dira, nolabait esateko. Poloak ez dira hain errazak konpontzen, baina hein batean ezagutzen ditugu. Puntu singular esentzialak dira aztertzeko lan gehien eskatzen dutenak.

Zaldibarren gertatu dena izan liteke singularitate soka luze baten emaitza. Kasu honetan ere, izango ziren singularitate gaindigarriak. «Konponbide» ez horren zailekoak, nahi bada. Baina alferrik saiatuko dira sinetsarazten horiek baino ez zirenik. Bistan da izan direla polo ugari ere, eta zer esanik ez, singularitate esentzialak nahi adina. Ez du ematen puntu singularrik gabeko funtzioa zenik zabortegia kudeatzen zuena.

Teoremak dioena da, funtzio konplexu bat kurba itxi baten gainean integratu nahi badugu, aski dela kurba horren barruan dauden puntu singularrei begiratu eta beraien hondarra kalkulatzea. Ez naiz hondarraren definizioan sartuko, baina ideia da puntu singular bakoitzari lotuta zenbaki bat dagoela, eta zenbaki horien batura batek zehazten duela integralaren balioa. Berdin dio kurbak zein forma duen, zein azalera hartzen duen, zirkunferentzia bat den ala karratua. Inporta duen bakarra barruan harrapatzen duen puntu singular kopurua eta beraien nolakotasuna da.

Verter Recycling-eko funtzioari buruz gehiago jakin nahian daramatzagu bi aste luze. Eta arazoetako bat da ez dakigula kurba noraino zabaldu behar dugun funtzioaren puntu singular denak barruan harrapa ditzan. Kurba zabaldu ahala, puntu singular berriak azaltzen zaizkigu. Hasi ginen zabortegira begira. Zabaldu dugu kurba kudeatzen zuen enpresara, bertara zaborra eramaten zutenetara, Eusko Jaurlaritzara... Zabal genezake kurba gure zaborrak kudeatzeko modua barnebil dezan. Eta susmoa dut perimetroa zabaldu aldiro aldatu egingo dela integralaren balioa. Alegia, gero eta singularitate gehiago aurkituko ditugula eremua handitu ahala. Eta okerrena dena, gehienak ez dira singularitate gaindigarriak izango. Konponbiderik gabeko singularitateak direlako kasu honetan eman eta ematen ari direnak.

Funtzioaren orain arteko funtzionatzeko modua eta eragin dituen min eta kalteak ezingo dira konpondu. Baina integrala kalkulatzen jakingo bagenu, beharbada asmatuko genuke gure hondarrak kudeatzeko beste funtzio mota bat eraikitzen. Hondarren teorema erabiliz ariketa ebatzi ahal izateko, baina funtzioaren puntu singularrei buruzko informazio gehiegi falta zaigu oraindik...