Geometria fraktala: errepikapena, infinituraino

Kaosak ere badauka bere ordena. Matematikaren bidez azaldu daiteke iratze baten forma eta haren hosto biribilduena. Natura matematikaz eta geometriaz ere osatuta dago. Geometria bat daukate itsasertzek, elur malutek, gorputzeko odol hodiek eta nerbioek. Ez dira lerroak, ez karratuak, ez kurbak, ez borobilak. Beste zerbait dira. Benoit Mandelbrot matematikariak berba closehitziradokitzaile batez izendatu zituen orain dela 50 urte: fraktalak. Latinezko fractus hitzetik hartu zuen kontzeptua: hots, apurtua, hautsia. Mugarri closegertaera nabarmen batek ezartzen duen mugabat ezarri zuen hala, eta bidea eman zion matematikaren eremu zabal eta oparo bati.

Raul Ibañez EHUko Geometria irakasleak azaldu duenez, matematikariak aspalditik ari ziren askotariko propietate matematikoak aztertzen: «Zenbait paradoxaclosekontraesanak dituen ideia bat zeuden. Hitz soiletan esateko, ordura arteko matematika oso leuna zen; geometrian, kurbak, azalerak eta abar zeuden, baina gauza batzuetan ez zegoen leuntasunik, zimurtasunaclosezimurrak dituena baizik».

Garai hartako matematikari handi askok jorratu zuten bide zimurtsu hori —Bernhard Riemann, David Hilbert eta Felix Hausdorff—, eta intuizioari kontra egiten zioten ezaugarri geometriko eta analitikoak zituzten objektuak sortu zituzten: Giuseppe Peanoren kurba —karratu bat betetzeko gai dena—, Waclaw Sierpinskiren triangelua, Helge von Kochen elur maluta eta Georg Cantorren multzoa dira orduko ekarpenetako zenbait.

Baina zer dira, zehazki, fraktalak? «Konplexua da definizio bat ematea», onartu du Ibañezek. Hiru propietate dituzte, baina fraktal guztiek ez dituzte ezaugarriok betetzen. Eta, gainera, ez dira gauza bera fraktal matematikoak —Peanoren kurba eta enparauak— eta naturan topa daitezkeenak: lehenak objektu «idealak» dira; bigarrenak, berriz, hurbilpenak.

«Objektu fraktal bat hartuz gero eta zati bat handituz gero, originalaren egitura berdin-berdina izango du»

Raul Ibañez, EHUko Geometria irakaslea

Fraktalak, labur esanda, egitura beraren errepikapenak dira, eskala ezberdinetan. «Objektu fraktal bat hartuz gero eta zati bat handituz gero, originalaren egitura berdin-berdina izango du. Esan dezakegu objektua bere buruaren kopiaz osatuta dagoela, infinituraino». Romanesko azalorean argi ikusten da errepikapen hori; barazki hori erabili ohi da, hain zuzen, naturaren izaera fraktala erakusteko: azalorearen loreek kono itxura dute, eta forma bera errepikatuz doa loreen barruan, gero eta tamaina txikiagoan. Fenomeno bera antzeman daiteke beste barazki batzuetan, hostoetan, arboletan... «Halakoetan, autoantzekotasuna ez da zehatz-zehatza», egin du ñabardura matematikariak.

Fraktalek ezohiko dimentsioak dituzte. Zenbaki naturalekin adieraz daitezke geometria klasikoko figuren dimentsioak: kurbak bakarra dauka, azalera batek bi dauzka, eta esfera batek, hiru. Baina, fraktalen kasuan, erdibideko zenbakiak dira: hala, Cantorren multzoak 0,6319ko dimentsioa du, eta Kochen kurbak, berriz, 1,2618koa. «Dimentsio fraktal horrek zerikusi handia dauka, modu sinple batean esateko, objektuaren zimurtasunarekin: hau da, ez da objektu lau bat».

Itsasertzeko paradoxan agerikoa da hori. «Argazki batean neurtzen badugu zer luzera duen kosta batek, datu bat lortuko dugu, baina, bertara bagoaz eta oinez neurtzen badugu, luzera handiagoa emango liguke; eta are handiagoa inurri batek neurtuko balu». Eskala zenbat eta gehiago murriztu, orduan eta handiagoa izango da perimetroa, infinitura heltzeraino, Mandelbrotek azaldu zuenez. «Paradoxikoa da, uste baitugu halako luzera batek finitua izan beharko lukeela».

Prozesu iteratiboak

Hirugarren ezaugarriak aurreko biak osatzen ditu: ikuspuntu matematikotik, prozesu iteratibocloseerrepikatu egiten dena infinitu gisa deskribatu ohi dira objektu fraktalak. Hau da, prozesu jakin bat aplikatzen da, horren emaitzari prozesu bera aplikatzen zaio, eta beste horrenbeste kasuan-kasuan ateratzen diren emaitzei. Cantorren multzoa erabili ohi da segida hori azaltzeko: 1 luzerako lerro bat hiru zatitan banatzen da, eta erdiko segmentua ezabatzen da, muturretako biak baino ez utzita; segmentu horietako bakoitza (1/3) hiru zatitan banatzen da ostera, eta erdikoa kentzen da; berdin egiten da geratu diren zatiekin (1/9), eta horrela infinitu bider. Propietate horri dagokionez ere, ez dute berdin jokatzen fraktal matematikoek eta naturalek: matematikariak zehaztu duenez, naturako fraktalek lauzpabost iterazio izan ohi dituzte, gehienez.

Fraktalen aurkikuntzak geometriaren aukerak zabaldu zituen, nolabait. Aurretik, geometria klasikoaren objektuak erabiltzen ziren modelo matematikoak sortzeko, baina mugak zituzten. Mandelbroten esaldi ezagun batek laburbiltzen du arazoaren muina: «Hodeiak ez dira esferak, mendiak ez dira konoak, kostak ez dira zirkularrak eta tximista ez doa lerro zuzenean». Ibañezek ondorioa bota du: «Matematikoki zerbait modelizatu closemodelo bat sortunahi badugu, errealitatearen konplexutasunera egokituko diren objektuak behar ditugu». Alegia, fraktalak.